密度均匀的圆盘（圆盘密度公式）

半径为r厚h密度ρ质量均匀的圆盘绕中点以角速度ω旋转,求动能_百度...

角动能Ek=（1/2）Jω^2 而J是物体固有的转动惯量。定义是J=∑（R^2）Δm；如果这里的球体是质量均匀，且连续分布的刚体，那可以用定积分来计算J。

首先，平动动能E由（1/2）mv^2给出，其中v是质心的速度，与半径r相乘得到vr，代入公式得E=（1/2）m（vr）。然而，为了得到完整的动能，我们还需要考虑角动能，它由（1/2）Jω^2组成，其中J是圆盘的转动惯量，等于m*r^2/2，而角速度ω等于质心速度v除以半径r，即ω=v/r。

所需的能量即为转动动能。动能的计算公式为 E = （1/2）mr^2ω^2，其中ω为角速度。给定的角速度ω为1 rad/d（弧度每天）。将角速度代入动能公式，得到 E = （1/2）mr^2 * （1 rad/d）^2。简化公式，能量 E = （1/2）mr^2 / 4 （弧度每平方天）。

环的动能为m（ωr）^2。圆环作为刚体，做的是平面运动，其动能为质心平动动能加上绕质心转动动能。质心平动动能：0.5mv^2=0.5m（ωr）^2 绕质心转动动能：0.5Jω^2=0.5（mr^2）ω^2 两者之和为总动能：m（ωr）^2。

对于一个质量为m的质点，以角速度ω围绕半径为r的圆周做匀速运动，其角动量可以表示为L = mr^2ω。这里，I0表示质点对于参考点O的转动惯量。对于一个刚体，如果它以角速度ω围绕定轴z旋转，那么它的角动量可以表示为L = Iω，其中I是刚体的转动惯量。

柯尼希定理（Konigs theorem）是质点系运动学中的一个基本定理。其文字表述是：质点系的总动能等于全部质量集中在质心时质心的动能，加上各质点相对于质心系运动所具有的动能。

可以先取一个宽度为dx的环形微元dm，计算环形微元相对于转轴的转动惯量，然后对整个圆盘从0到R对dx做积分。具体计算如下图。例：半径为R质量为M的圆盘，绕垂直于圆盘平面的质心轴转动，求转动惯量J。

第24届全国中学生物理竞赛预赛第八题半径为R的半球形碗内搁置一质量为m、边长为a的等边三角形均匀薄板。板的顶点位于碗的最低点，碗的最低点对板有某种约束。求板达到平衡时碗对板的作用力，并计算板在平衡状态滑落时的最大动能。解析：首先通过虚功原理分析板的平衡状态，求出碗对板的作用力。

转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，它与刚体的质量、质量相对于转轴的分布有关。决定转动惯量的因素转动惯量 J = ∑miri2 或 J=∫r2 dm 是物体转动惯性大小的量度，它的大小由物体的质量、质量分布和转轴的位置三个因素来决定。请看下面的实例。

高斯定理计算场强适合的场景是找到合适的高斯面。

用高斯定理做就可以。做与球面同心的球面作为高斯面，半径设为2R。由对称性，场强沿高斯面半径方向，高斯面上各点场强的大小处处相等。由高斯定理：E*4π（2R）^2=4πR^2 σ/ε0 E=σ/4ε0 用库仑定律也可以做。

用高斯定理做就可以。球面的话r小于等于R时场为零，因为球面内部没有电荷分布，而球体的话如果是均匀带电球体内部是有场分布的。

首先，要明确的是高斯定理可以用于求解均匀带电球体内的场强公式，而这个公式确实是和距离r的三次方成反比的。具体来说，均匀带电球体内的电场强度E与球体半径R和点到球心距离r的关系为：E=kQ/（rR）。高斯定理的核心思想是通过一个封闭曲面的电通量来求解该曲面内的电荷所产生的电场。

均匀与非均匀：一对平行平板电极之间的电场，各点的电场强度完全相同，这种电场叫做匀强电场（如果极板尺寸比极板间距离大得多，那么极板边缘的电场不均匀部分，可不予以考虑）。一个带电球体周围的电场，各点的电场的电场强度都不同，这种电场叫做不均匀电场。

在半径为R的圆面上均匀分布着电荷，电荷的面密度为σ。我们需要计算轴线上离圆心坐标为X处的电场强度。首先，我们考虑半径为r、宽度为dr的圆环，其带电量为dq=σ2πrdr。该圆环在x处产生的场强为dE=xdq/4πε0√（x+r）=xσrdr/2ε0√（x+r）。

所以总场强E=∫_0^RdE =kσπ.-2（t+a2）-1/2∣0R2 =2kσπ（1/a-1/√（R^2+a^2 ）如果电荷总量为Q，电荷密度为为σ，那么σ=Q/πR^2利用这个公式可以计算a为半径的圆盘的电荷量。继续求a点的强度就要涉及积分了。可惜积分已经远离我去了。

一均匀带电球层，其电荷体密度为ρ，球层内外表面半径分别为RR2，求离球心为r（rR1）处的电势。一圆盘半径为R，圆盘均匀带电，电荷面密度为σ。求：1）轴线上的电势分布；2）根据... 一均匀带电球层，其电荷体密度为ρ，球层内外表面半径分别为RR2，求离球心为r（rR1）处的电势。

例4．薄圆盘轴线上的场强。设有一半径为R、电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为σ。求通过盘心、垂直与盘面的轴线上任一点的场强。

圆环在中心产生的电势为Σφi= n* φi=2πRkc 解：本题利用了电势的性质求解。将半径R分为n份。n趋近于无穷大即d=R/n。那么距离中心为Ri，宽度为d 的带电圆环上电荷量为Qi=2πRi*d*c=2πRi*R*c/n，此圆环在中心产生的电势为 φi=kQi/Ri=k2πRc/n。