数理统计第四讲(次序统计量续,伽马分布)
任给一个次序统计量，其密度与总体的关联可通过公式表示，具体为：公式 证明步骤如下：方法一：若次序统计量落入某一区间，等于样本中特定数量的小于、等于或大于给定值的元素分布，其概率可计算为公式表示，进而得出密度函数。方法二：通过定义事件，并利用恒等式简化，最终求得密度函数公式。
非中心分布：如非中心伽马分布、非中心F分布和非中心t分布，它们在统计分析中扮演关键角色，特别是在需要考虑额外变异或偏移时。次序统计量： 定义：次序统计量如第k小的样本值，是统计学中具有重要意义的概念。 重要性：通过理解次序统计量的密度函数，可以解决抽样模拟和统计推断中的问题。
次序统计量，如第k小的样本值，是统计学中具有重要意义的概念。通过理解次序统计量的密度函数，可以解决抽样模拟和统计推断中的问题。定理2和定理3提供了次序统计量密度函数的计算方法，这对于深入理解统计推断的数学基础至关重要。
第一章：统计分布基础 本章涉及分布函数和特征函数，以正态分布为例，涉及特征函数的求解。此外，介绍了伽马分布、β分布和Pareto分布等，特别详细讲解了β分布的性质证明，并将其与二项分布联系起来。
联合分布为[公式]，故最大次序统计量[公式]是[公式]的MLE，也是[公式]的充分统计量。以下将基于[公式]构造[公式]的置信区间。对于整数[公式]，有[公式]，同样，对于任意的[公式]，有[公式]，其中[公式]表示小于等于[公式]的最大整数。易得[公式]是[公式]的严格减函数。
sinx密度函数的取值范围是否可取二分之π到π?
综上所述，对于 $f（x） = \sin x$，它并不是一个概率密度函数，因此不存在取值范围可取二分之 π 到 π 的问题。
Y=sinX 的概率密度为fX（arcsiny）/sqrt（1-y*y）。Y的取值为[-1，1]， 先求分布，然后求导获得密度。以x的范围为[-π/2，π/2]为例：分布F（y）=P（Y=y）=P（X=arcsiny）=从-Pi/2到arcsiny积分{fX（t）dt}，所以密度函数为fX（arcsiny）/sqrt（1-y*y）， 这里y在（-1，1）。
sinx小于0：（2k-1）πx2kπ，k是整数。sinx不等于0：x不等于kπ，k是整数。sinx函数的定义 sinx函数，即正弦函数，三角函数的一种。正弦函数是三角函数的一种。对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx。
属于区间（-π/2，π/2），故有π-x=arcsiny，即有x=π-arcsiny。其他区间上的反函数类似方法可求。如x在（3π/2，5π/2），y=sinx=sin（x-2π），故x-2π=arcsiny。即有x=2π+arcsiny。简介 正弦函数一般指正弦。
【计量经济学】极大似然估计
1、极大似然估计在计量经济学中是一种通过调整参数使得观察到的样本数据产生这些观测结果的概率达到最大的估计方法。以下是关于极大似然估计的详细解释：核心理念：极大似然估计的核心是通过最大化似然函数来找到参数的最优估计值。
2、最大似然估计（MLE）在计量经济学中广泛应用。本文介绍MLE基本原理和Stata实现步骤，并通过线性回归和面板随机边界模型实证分析，展示MLE在Stata中的运用。相比于最小二乘估计和广义矩估计，MLE要求能够写出密度函数。基本思想是在已知随机向量概率分布情况下，估计参数使得从模型中抽样获得观测值概率最大。
3、指数分布非线性模型：这是另一类非线性模型的例子，同样可以通过MLE估计参数。通过编写定义参数函数、输入和最大似然函数求解的程序，并使用模拟数据验证模型的准确性。 综上所述，MLE是一种强大的参数估计方法，在Stata中通过编写ado文件和使用ml命令可以方便地实现MLE。
4、定义 使用不正确的似然函数而得到的最大似然估计，称为 准最大似然估计 （Quasi MLE， QMLE）或 伪最大似然估计 （Pseudo MLE）。之所以在某些情况下可以“歪打正着”地得到一致估计的准最大似然估计，是因为 MLE 也可以被视为 GMM，而后者并不需要对随机变量的具体分布作出假定（见教材第10章）。
5、计量经济学中，y的估计值具有以下性质： 无偏性（Unbiasedness）：估计值的期望等于真实值。即E（y_hat） = y，其中y_hat为估计值，y为真实值。 一致性（Consistency）：当样本容量趋向于无穷大时，估计值收敛于真实值。即lim（n→∞） y_hat = y，其中n为样本容量。
6、计量经济学知识点如下：经济变量：不同时间、不同空间的表现不同，取值不同，是可以观测的因素。是模型的研究对象或影响因素。参数估计的常用方法：普通最小二乘、广义最小二乘、极大似然估计、二段最小二乘、三段最小二乘、其它估计方法。
如何求随机变量的概率密度函数
1、概率密度函数f（x） = lim [P（a X = b） / （b - a）] 其中，a和b是区间端点，P（a X = b）是在该区间内取值的概率。需要注意的是，概率密度函数应该满足以下条件：（1） f（x） = 0 在整个定义域内；（2） ∫f（x） dx = 1。
2、离散型随机变量的概率密度函数求法：对于离散型随机变量，可以通过列出每个取值的概率，即 P（X=x）。然后可以用列举的概率来定义概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）。
3、设两个随机变量为X和Y，它们的概率密度函数分别为fX（x）和fY（y）。它们的乘积Z = X * Y的概率密度函数fZ（z）可以通过以下公式来计算：fZ（z） = ∫fX（x） * fY（z / x） * |1/x| dx 其中，|1/x|是x的绝对值的倒数，表示求得的概率密度函数在不同的x值之间可能具有不同的正负号。
4、求概率密度的方法：则X为连续型随机变量，称f（x）为X的概率密度函数，简称为概率密度。单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。
多元高斯分布概率密度推导
1、高斯分布的核心在于距离的指数衰减，通过标准化将绝对距离转化为相对距离，从而计算概率密度。转向多元正态分布，假设各个维度之间不相关，通过一个 [公式] 维的列向量描述每个数据点，各个维度的均值和方差分别为 [公式] 和 [公式] 。
2、多元高斯分布概率密度推导，旨在深入理解其计算逻辑与原理。一元高斯分布概率密度是概率论基础，核心在于计算数据点到均值的距离，并通过距离平方的指数衰减计算概率密度。标准化过程消除了数据分布差异和量纲影响，使得计算结果更具普适性。进入多元高斯分布概率密度推导，首先关注维度相互独立的情况。
3、σ2=∫∞∞（xμ）2p（x）dx，可以看出，该概率分布函数，由期望和方差就能完全确定。高斯分布的样本主要都集中在均值附近，且分散程度可以通过标准差来表示，其越大，分散程度也越大，且约有95%的样本落在区间（μ2σ，μ+2σ）。多元高斯分布：多元高斯分布的概率密度函数。
4、一元高斯分布：定义：一元高斯分布，也称为正态分布，适用于只有一个变化维度的连续随机变量。其概率密度函数由均值μ和方差σ决定。标准形式：当方差σ=1时，称为标准高斯分布。多元高斯分布：定义：涉及多个维度的变量。
Cauchy分布与矩的存在性
接下来，我们探讨了方差的概念。方差的存在性依赖于期望的存在性。在Cauchy分布中，尽管其期望存在，但方差不存在。这是因为方差的定义依赖于期望的平方，而Cauchy分布的平方不收敛。这里的关键是“速度”概念，即极限的收敛速度。在Cauchy分布中，极限的收敛速度导致方差不存在。
柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布。当随机变量X满足它的概率密度函数时，称X服从柯西分布。柯西分布也叫作柯西一洛伦兹分布，它是以奥古斯丁-路易-柯西与亨德里克-洛伦兹名字命名的连续概率分布。
该分布特点显著，包括数学期望、方差、高阶矩均不存在，具备可加性和倒数性质。为了实现柯西分布的算子，我们基于paddle.distribution API基类进行开发，具体包括位置参数self.loc和尺度参数self.scale。同时，在paddle/distribution/kl.py中注册了计算Cauchy分布之间KL散度的函数，简化了后续调用。
应力张量在连续体力学中的对称性是其基本特性，但理解其为何如此并非易事。在传统理论中，Cauchy应力张量通常被假设为对称，这是基于角动量平衡条件的推导。当物体的角动量分布均匀，不受到外部体力矩的影响时，张量的对称性得以确保。
作为概率分布，通常叫作柯西分布，物理学家也将之称为洛仑兹分布或者 Breit-Wigner 分布 。在物理学中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语。