似然函数和极大似然函数
似然函数是样本联合密度函数关于待估计参数的函数，而极大似然函数则是使似然函数取得最大值的参数估计方法。似然函数： 定义：假设样本x1~xn独立同分布，具有概率密度函数p，其中α为要估计的参数。则似然函数即为这n个样本的联合密度函数，表示为L=Πp。
极大似然估计法旨在找到α，使得联合密度函数L（α）达到最大值。通常的做法是计算L（α）关于α的偏导数，并将其设为0，以解出α。值得注意的是，许多随机变量的概率密度函数p（xi；α）可以表示为指数族形式。在这种情况下，为了简化计算，我们引入对数似然函数l（α）。
似然函数极大似然函数是一种统计学中的方法，用于估计模型参数。其核心思想是寻找一组参数（θ），使得给定的数据集出现的概率最大化。具体来说，就是最大化似然函数L（θ）=L（x1，x2，…，xn；θ）=ΠP（xi；θ）。在统计模型中，我们通常假设数据是由一个概率分布产生的。
极大似然估计法： 定义：极大似然估计法是通过最大化似然函数来找到最能解释观测数据的参数值的方法。 步骤： 首先，根据观测数据构建似然函数。 然后，通过对似然函数取对数、求导等数学操作，找到使似然函数最大化的参数值。 这个最大化的参数值就是所求的参数估计值。
概率的连乘为什么就是似然函数
似然的计算来自于概率密度函数，本质上是一个样本和参数的二元函数。单个样本的似然计算：已知某个样本，对于某个参数，代入密度函数，即可计算出其可能性。一组样本的联合似然函数计算：假设样本采样是独立同分布的，即它们之间是独立的。那么，似然函数就是每个样本的似然值连乘。
似然函数连乘公式来的如下。根据查询相关资料信息，把似然函数L（x）转化为ln（L（x），这样连乘就变成了连加：ln（L（\theta）=ln\pr。似然函数是一种关于统计模型参数的函数。给定输出x时，关于参数的似然函数L（|x）（在数值上）等于给定参数θ后变量X的概率：L（|x）=P（X=x|。
离散型随机变量的似然函数是概率连乘，离散型随机变量似然函数是概率密度连乘。一个结果是联合分布律，一个结果是联合概率密度。拓展：一般是指分布函数。分布函数（cumulant distribution function，cdf）是概率统计中重要的的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。
极大似然估计
1、λ的矩估计值和极大似然估计值均为：1／X－（X－表示均值）。详细求解过程如下图：指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。
2、咱们分两个步骤来证明，第一步是找出指数分布的参数λ的极大似然估计是什么；第二步是证明该估计值是λ的相合估计。
3、从而得到λ的极大似然估计为λ = 1/x再验证二阶导数l（λ|x）是否为负数，以确定极大值的存在性：l（λ|x） = -n/λ^2 由于-n/λ^2 0，说明l（λ|x）在λ = 1/x处取得最大值，即λ的极大似然估计为1/x。
4、P的矩估计为（X上方一横），P的极大似然估计为（X上方一横），两种估计都是P的无偏估计。（1）因为，EX=P=（X上方一横）所以，P的矩估计＾p=（X上方一横）。
5、构造 lnL=∑Xi*lnp+（n-∑Xi） ln（1-p），对p进行求导，令其结果等于0，就是∑Xi/p+（n-∑Xi）/（1-p）=0，通分后令分母等于0，可以得到p=（∑Xi）/n 求极大似然函数估计值的一般步骤：（1） 写出似然函数；（2） 对似然函数取对数，并整理；（3） 求导数 ；（4） 解似然方程 。
6、极大似然估计是一种在统计学中常用的方法，用于从数据中估计模型参数。以下是关于极大似然估计的详细解释：定义：极大似然估计利用观测数据的样本结果信息，反推最可能导致这些观察数据出现的模型参数值。