物质导数(随体导数)
想象一下，随体导数就像是在移动的舞台上计算一个变量——比如温度——在时间的瞬息变化。物质导数，这个看似复杂的概念，其实源自于流体微元在运动过程中α的即时变化率，它就像高铁显示屏上实时记录的温度变化，是随流体微元运动而捕捉到的动态信息。
对随体导数的直观理解可用高铁电子显示屏显示车外温度的变化为例说明。假设高铁作为一个流体微元，从北京出发，中途到达上海。显示屏记录的室外温度变化即为物质导数，包含两部分：其一，由地理位置变化引起的温度变化，为对流导数；其二，由时间差异导致的温度变化，即当地导数。
物质导数，亦称随体导数或全导数，在流体动力学中是衡量流体微团物理量随时间变化的关键概念。其物理意义为，流体微团的物理量随时间的变化率等于该物理量由当地时间变化所引起的变化率与由流体对流引起的变化率的和。
随体导数是流体力学中一个关键概念，它在特定物理场景中的应用尤为显著。在流体力学中，物质导数或随体导数与全导数相对，体现了流体在流动过程中的属性变化。这一概念不仅在数学上有其独特之处，在物理应用中也起着至关重要的作用。物质导数的概念源于全导数的概念。
d/dt与d/dt在流体力学领域分别代表随体导数和对时间的微分，两者存在显著区别。随体导数，即物质导数或拉格朗日导数，考虑了流体质点本身的运动对变量求导的影响。其表达式为：d/dt。其中，等号右边的第一项为时间偏微分，即当地导数；第二项为运动速度与空间偏微分的乘积，即迁移导数。
N-S方程篇2:物质导数
1、理解这一概念，有助于更好地进行N-S方程的推导与应用。在推导过程中，物质导数的概念被直观解释为进入山洞时温度的变化与雪球扔入时额外的瞬间温度降低之和。同样，中科院的李新亮研究员通过高铁电子显示屏实时显示的室外温度变化，形象地说明了物质导数包含地理位置变化和时间变化两部分。
2、NS方程的推导过程涉及物质导数的概念，物质导数可以描述物体随时间的变化情况。通过考虑微小体积的变化，我们能够建立一个关于流体运动的方程。NS方程在解析上的复杂性使得寻找通解成为了一个极具挑战性的问题，其重要性甚至被提升为“千禧年大奖难题”之一，悬赏100万美元寻求解决方案。
3、最简单的N-S方程形式为：[公式]。实际应用中，此方程常转化为单位体积流体微元上的力之和，表示为：[公式]。通过代入质量导数和力之和，可以得到单位体积流体微元上的力之和表达式，进而得到NS方程的最终形式：[公式]。
4、纳维-斯托克斯方程，作为描述流体运动的关键工具，其本质并非寻找速度和压力之间的直接关系，而是通过微分方程揭示这些物理量变化率或通量间的相互影响。在数学上，这些变化率对应于变量的导数。以理想流体为例，当粘滞度为零时，方程表明加速度与内部压力的导数成正比。
5、牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等。1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中引入了和拉长的S作为微积分符号，从此牛顿创立的微积分学在大陆各国迅速推广。
6、因为纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。不同于代数方程，这些方程不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而寻求建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
随体导数的定义
1、在流体力学的研究中，随体导数是一个关键的概念。它关注的是流体在某一特定点的力学状态，特别关注这个点周围极小区域（称为流体微团）随时间演变的速度。这个速度可以表现在多个方面，比如流体微团体积随时间的变化率，或者是组成它的平面的形状随时间的改变速率等。
2、首先，随体导数是数学上对流场中物理量随时间变化的局部速率的精确描述，它揭示了流体运动的不稳定性与非定常性。每一点的随体导数都反映了这一瞬间，该物理量如何因流场的瞬息万变而变化，是理解湍流流动、扩散等现象的基础。然而，随体导数并不仅仅关注局部的变化。
3、深入探讨随体导数的物理含义，以一维温度变化为例进行解释。随体导数公式表示在流体微团运动过程中，背景空间的温度变化。若流体微团保持温度不变，意味着背景空间的温度在微团运动时发生变化。以1秒为例，设为u，则随体导数指的是单位距离上温度的变化。